Енгибарян родился 24 апреля 1932 года в Ереване (Армения), а боксом начал заниматься с 14 лет. В 1951 году Владимир Николаевич стал бронзовым призером чемпионата СССР в легчайшем весе. В 1952 году призывался на сборы олимпийской сборной СССР, но на Олимпийские игры в Хельсинки так и не поехал. В 1953 году на дебютном для советской команды чемпионате Европы в Варшаве Енгибарян первым из советских боксеров стал чемпионом Европы. В 1955 году впервые выиграл чемпионат СССР, а в 1956 году на Олимпийских играх в Мельбурне вторым из советских боксеров (после Владимира Сафронова) завоевал титул олимпийского чемпиона. В 1957 и 1959 годах он снова побеждал на чемпионатах Европы и ехал на Олимпийские игры в Риме (1960) явным фаворитом, но, получив травму плеча, проиграл в четвертьфинале польскому боксеру Мариану Каспшику. После этого Владимир Николаевич принял решение завершить спортивную карьеру. Всего на ринге провел 267 боев, в 255 из которых добился победы.
В дальнейшем Енгибарян занимался тренерской деятельностью в ереванской детско-юношеской школе бокса (ныне носящей его имя), стал судьей международной категории. В 70-х годах представлял СССР в судейской комиссии АИБА, выступал в качестве рефери на крупнейших международных соревнованиях.
С 1993 года жил в Лос-Анджелесе. Здесь же Владимира Николаевича похоронят 3 февраля.
